Motivačno-didaktická výučba  matematiky

 

 Zodpovedný učiteľ by mal mať vždy „po ruke“ svoj typický širší súbor podnetov (uložený aj vo svojej ľudskej pamäti), úloh i príkladov, zaujímavých myšlienok a didaktických postupov, historických poznámok, praktických ukážok, aby presvedčoval o tom, že jeho pomer k matematickej kultúre je živený trvalým a hlbokým vzťahom pre pestrý svet informácií s jednoduchým, ale aj veľmi podnetným pozadím.

Tieto ciele sledujú  učiteľa matematiky na našej škole..    

                                                               

            Riešenie úloh ako ústredná činnosť na hodinách matematiky

    Základnou zložkou motivačno-didaktickej výučby  matematiky je pestrý súbor úloh s pozoruhodným textom, s rôznou tematikou, postupne sa zvyšujúcou obťažnosťou a cieleným možným použitím vo zvolenej chvíli didaktického pôsobenia.

   Vhodne pripravené a v správnom čase uplatnené úlohy sú aj zdrojom myšlienkových podnetov a motivačných impulzov.

 Súbor ponúkaných úloh je pomerne dobrou charakteristikou kvality vyučovania matematiky. 

 

       Súbor didakticko-motivačných úloh  

 

1.      Ako si zapamätať číslo p na 30 desatinných miest?                                      

      p = 3,141592653589793238462643383279.      ..                                                        

 Mám, ó bože, ó dobrý, zapamätať si takýto čísel rad. Veľký slovútny Archimedes,  

 pomáhaj trápenému, daj mu moc naspamäť znať krásne aj slávne síce, ale tak protivné 

      nám, ach, číslice Ludolfove.

      (počet písmen v jednotlivých slovách je príslušná číslica v desatinnom vyjadrení p)

 

 

2.      Rozdelenie koristi – spravodliví zbojníci:                                                                         

      Ako si traja zbojníci rozdelia rôznorodú korisť, ak si navzájom nedôverujú a každý z nich je presvedčený, že dokáže korisť rozdeliť na rovnocenné časti.

 

3.      Rozhovor dvoch matematikov:                                                                               

      A: Súčin veku mojich troch synov je 36.                                                                    

      B: Táto informácia nestačí na určenie veku každého z nich.                                          

      A: Súčet veku  synov je rovnaký ako počet okien na dome, ktorý vidíme pred sebou.

B: Ani teraz sa nedá určiť vek tvojich synov.                                                                

A: Najstarší z mojich synov má čierne vlasy.                                                                

B: Ďakujem, to mi stačí. Už poznám vek tvojich synov.

      Koľko rokov má každý z matematických synov a koľko okien bolo na budove, ktorú

      videli pred sebou?

 

4.      Štvorec iba kružidlom

Zostrojte všetky vrcholy štvorca ABCD, ale iba kružidlom, ak sú dané vrcholy A, B.

 

5.      Nežný cit a pravdepodobnosť:                                                                          

      Desať ľudí si náhodne sadne okolo okrúhleho stola. Aká je pravdepodobnosť, že určití   

      dvaja ľudia budú sedieť vedľa seba?

 

6.      Čo je výhodnejšie pre pracujúcich?                                                     

Máte rozhodnúť, buď znížiť ceny výrobkov o 10% a nemeniť platy pracovníkov, alebo nemeniť ceny výrobkov a zvýšiť o 10% platy. Zdôvodnite, čo je výhodnejšie pre  

pracovníkov.

 

7.      Taký trojuholník neexistuje

Ukážte, že neexistuje trojuholník, ktorého výšky by mali veľkosť 1, 2, 3 (dĺžkových

      jednotiek).

 

8.      Aj taký existuje?

Dokážte, že v rovine existuje trojuholník, ktorého všetky výšky sú menšie než 1 cm  

      a obsah trojuholníka je väčší ako milión cm2.

 

10. Záhada dvanástich dukátov                                                                                            

Medzi dvanástimi dukátmi je jeden falošný (nemá rovnakú hmotnosť ako ostatné). 

Stanovte postup akým nájdete tento falošný dukát najviac tromi váženiami na 

rovnoramenných váhach.

 

 

       Postrehy význačných matematikov 

 

 

·        Príroda má v obľube jednoduchosť a jednotnosť.                                                                                                                                                                                            J. Kepler

                                                                                             

·        Celá ľudská dôstojnosť spočíva v myslení. Snažme sa preto, aby sme mysleli správne, v tom je princíp mravnosti... Nemožno popierať existenciu všetkého, čo nie je pochopiteľné.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  B. Pascal

 

·        Ani jeden veľký objav sa nezrodil bez smelého odhadu... Ak môžeš udržať rozum nad vášňou, on a ostražitosť budú tvojimi najlepšími ochrancami.                                  I. Newton

 

·        Matematiku už len preto je nutné študovať, že ona rozum do poriadku dáva.                                                                                                                                   M. V. Lomonosov

 

·        Najtvrdším orieškom pri riešení problémov je položiť si správnu otázku. Jediná cesta ako sa to dá naučiť je – skúšať to.                                                                             P. Halmos

 

·        Matematika dáva najčistejší a bezprostredný zážitok pravdy, v tom je jej hodnota pre všeobecné vzdelanie.                                                                                                M. Laue

 

·        Najvyššie poslanie matematiky spočíva v tom, aby nachádzala skrytý poriadok v chaose, ktorý nás obklopuje.                                                                                            N. Wiener

 

·        Ani najvyššia svetská moc, ani bohatstvo – len vláda vedy pretrvá.                                                                                                                                                       Tycho Brahe

 

·        Nikdy nemáme definitívne pravdu. Môžeme si byť istí iba tým, že sa mýlime.                                                                                                                                          R. Feynman

 

·        To najdôležitejšie v živote je hrať sa. A je šťastím, ak človek zapojí do hry svoj mozog.                                                                                                                             E. Rubik

 

·        Zaujatie matematikou sa dá porovnať so záujmom o mytológiu, literatúru, alebo hudbu. Je to jedna z najvlastnejších oblastí človeka, v nej sa prejavuje ľudská podstata,

       túžba po intelektuálnej sfére života, ktorá je jedným z prejavov harmónie sveta.                                                                                                                                              H. Weyl

 

·        Milujem matematiku nielen preto, že je možné jej použitie v technike, ale aj preto, že je krásna, že do nej človek vložil svoju rozkoš z hry a že matematiky je schopná

      aj tej najvyššej hry a umožňuje nám zmocňovať sa nekonečna. Má čo povedať o nekonečne a o ideách. Má neuzavretú povahu ľudského tvorenia.                                 R. Péterová

 

 

 

 

 

 

Súbor historických poznámok 

 

Medzi Eufratom a Tigrisom

     Medzi najstaršie kultúrne oblasti sveta patrí územie medzi riekami Eufrat a Tigris. Sumeri už približne 3300 rokov pred n. l. poznali slabičné písmo (asi 400 znakov). Z obdobia okolo 2800 rokov pred n. l. sa zachovala sumerská tabuľa s číselnými znakmi. Vieme, že klinovým písmom zapisovali čísla v šesťdesiatkovej sústave. V starovekom Babylóne zaznamenali do obrázku štvorca so stranou 30 aj dĺžku jeho uhlopriečky ako  . Hodnotu uvádzali ako , to znamená presnosť až na 5 desatinných miest. Mezopotámska matematika sa dostala do základov nielen číselných symbolov, ale aj do babylonskej šesťdesiatkovej a neskôr i do desiatkovej číselnej sústavy. Nečakanou zaujímavosťou je aj fakt, že bola nájdená tabuľka s hodnotami pätnástich pytagorovských trojuholníkov. Viac než tisíc rokov pred Pytagorom bola známa tzv. Pytagorova veta.

 

 

Stredoveká zbierka úloh

     Ani v „temnom“ stredoveku nebola matematika mŕtva. Na dvore Karola Veľkého v Aachene okolo roku 775 sa používala jedna z prvých zbierok zaujímavých úloh z matematiky s podnetným názvom Úlohy na cibrenie umu mladých. Jej autorom bol učiteľ, filozof i básnik Alcuin z Yorku (asi 735 – 804, pôvodným keltským menom Alh-win, t. j. priateľ chrámu). Už v tejto učebnici sa vyskytuje známa úloha o pltníkovi, vlku, koze a kapuste. Skúste zdokonaliť svoje myslenia vyriešením úlohy: Ako rozdeliť 100 mincí medzi 100 osôb, aby muži dostali po troch, ženy po dvoch a každé dve deti spolu po jednej minci. Už vo svojej dobe vzdelanec Alcuin vedel: „Rozumne sa pýtať, znamená vyučovať.“

 

Matematici z Trnavskej univerzity (1635-1777)

     Uvedieme mená tých, o ktorých vieme, že vydali nejakú matematickú prácu,  alebo úspešne prednášali súdobú matematiku.  Henrich Berzeviczi (1652-1713) vydal (1687) učebnicu praktickej matematiky, Ján Dubovský (1654-1710) spolu s F. Székelym (1657-1715) zostavili prvé goniometrické tabuľky v Uhorsku (1694). Ján Ivančič (1722-1784) a Anton Revický (1713-1781) vydali (1752-1753) prvé vysokoškolské kompendium Krátky teoretický a praktický základ všeobecnej matematiky. J.K. Horváth (1753-1800) vydal dvojdielne Základy matematiky (1772/73), kde uviedol aj poznatky o kužeľosečkách. Diferenciálnymi rovnicami sa zaoberal Pavol Makó (1724-1793), matematiku prednášal aj astronóm F. Weiss (1717-1785), trnavský rodák, od roku 1770 univerzitný profesor, dekan filozofickej fakulty (1770-1772) i rektor univerzity (1775).  

 Nikdy nebude prvočíslom

     Koľko bolo žien úspešných vo „veľkej“ matematike? Prvou ženou, ktorá získala cenu Parížskej akadémie za vypracovanie matematickej teórie pružnosti dosiek  bola Sophie Germainová (1776 – 1831). Pracovala aj v teórii čísel. Tam jednoducho ukázala: Pre každé prirodzené číslo n > 1 platí: číslo  je číslo zložené (to znamená, že ak je n > 1 nie je  nikdy prvočíslo). Pozrite sa na vtipný dôkaz: Ani jeden zo súčiniteľov sa pre n > 1 nerovná jednej, to znamená, že  má dvoch rôznych deliteľov, ktoré sa nerovnajú číslu samému ani jednotke. Teda je to číslo zložené.

 

Výchovné podnety z dávnej histórie

     Významní myslitelia  starovekého Grécka, s filozofickým založením a nadaním i pre matematiku, nám zanechali odkazy aj pre výchovné pôsobenie:

 

Táles (asi 624 – 547 pred n. l.): Nerobme to, čo odsudzujeme u druhých...  Neber od otca, čo je zlé... Smutná je nečinnosť, škodlivá nemiernosť, obťažná nevzdelanosť...  Nebohatni nesprávnym spôsobom...   Nestačí mať čisté ruky, treba mať ducha čistého...   Najťažšia vec – poznať sám seba. Najľahšia vec – radiť druhým.

 

Pytagoras (asi 570 – 496 pred n. l.): Boh dal človeku dve ruky, aby ho neobťažoval s každou maličkosťou...  Úlohou výchovy je prebudiť v človeku génia...  Pravé a dokonalé priateľstvo znamená spojiť veľa vecí a tiel v jedno srdce a jediného ducha...  Najkratšie odpovede – áno a nie – vyžadujú najdlhšie rozmýšľanie...  Z každého polena Merkura nevyrežeš...  Rob veľké veci bez sľubov...  Mlč, alebo povedz niečo, čo je lepšie ako mlčať.

 

Platón (asi 427 – 347 pred n. l.): Najušľachtilejšia sila našej duše je schopnosť, ktorá sa spolieha na meranie a výpočet...  Matematika ponúka skvelý prostriedok pre objavenie právd, ktoré sú bez účasti rozumu nedostupné...  Počty a merba vedú k rozumovému poznávaniu, k pravde a lepšiemu pochopeniu všetkých náuk...  Aký kto je, také dielo vytvára.

 

Aristoteles (asi 384 – 322 pred n. l.): Umenie je nejaký tvorivý stav, spojený so správnym úsudkom...  Skutočná božská činnosť, ktorá sa vyznačuje najvyššou blaženosťou, je asi teoretická činnosť...  Iba málo ľudí vie, že šťastie vyplýva z osobnej dokonalosti.

 

 

Zaujímavé riešenia vtipných úloh  (ukážka 4.)

 

Čarovný trik ako kúzelník

Úloha: Napíšte si svoje trojciferné číslo. Urobte z neho ďalšie číslo s obráteným poradím číslic. Odčítajte menšie z týchto čísel od väčšieho. Z výsledku mi povedzte cifru na mieste jednotiek. Poviem vám celý výsledok.

 

 

Riešenie: Skúsme to:  537, 735

 

                                   735

                               -   537

                                   198                 poviete  8.

 

Ja si predstavím  99 . x  =  †† 8,  teda  x = 2,  váš výsledok bol 198.  V čom je podstata?

100a + 10b + c – 100c – 10b – a  =  99a – 99c  =  99.(a - c)

 

Výsledok odčítania trojciferných tzv. reverzných čísel je vždy deliteľný 99.

Tento fakt využijeme na určenie  rozdielu  (a – c)  a  teda aj celého výsledku..

 

Vynájsť sa  aj  z mála

Úloha: V znázornenom zápise súčinu dvoch kladných celých čísel stanovte  nezapísané číslice (sú naznačené bodkami):

                                                             ·  ·  ·

                                 x  ·  ·  ·

                                 ·  ·  ·  ·

                        3  2  7  5

                        ·  ·  ·____     

                        ·  ·  ·  ·  ·

 

Riešenie: Musíme vychádzať z toho mála, čo vidíme a  z toho, čo o násobení vieme. Ak rozložíme číslo 3275 na súčin prvočísiel dostaneme 3275 = 52 . 131, teda aby sme dostali toto číslo ako súčin trojciferného a jednociferného čísla treba 655 . 5. Potom násobenec bude 655 a druhá cifra násobiteľa 5. Pretože tretí čiastočný súčin je trojciferný, tak prvá číslica násobiteľa musí byť iba 1. Aby prvý čiastočný súčin bol štvorciferný a celkový súčin iba päťciferný, tak posledná cifra násobiteľa môže byť len 2 .

 

 

Naznačený súčin je

                                                           6  5  5 

                               x   1  5  2

                        ---------------------   

1  3  1  0

3  2  7  5

6  5  5

                                              _____________

9  9  5  6  0

 

 

Zázračné krátenie zlomkov


Úloha: Nájdite všetky zlomky s dvojciferným čitateľom a dvojciferným menovateľom, v ktorých sa cifry neopakujú, ale umožňujú „zázračné krátenie“, napr.:

 



Riešenie: Aj keď sa takéto krátenie v žiadnej škole všeobecne neuznáva, existujú prípady, že to niekedy „bude dobre“.  Hľadáme zlomky tvaru:

kde a, b, c Î {0, 1, 2 .... 9}, ale a ¹ b, b ¹ c.

 


Potom by „zázračným krátením“ malo platiť:


Po postupnej voľbe a = 1, b = 2  atď. dostaneme, že vyhovujú:

a = 1    b = 6    c = 4

a =1     b = 9    c = 5

a = 2    b = 6    c = 5

a = 4    b = 9    c = 8

 


Toto „zázračné krátenie“ možno uplatniť len na zlomkoch:

 

 

 

Tanečný záznam svedomitých dievčat

Úloha: Na tanečnom večierku bolo 20 mladých ľudí (chlapci a dievčatá).  Mária  tancovala so siedmimi chlapcami, Oľga s ôsmimi, Viera s deviatimi, atď. Posledná Helena tancovala so všetkými chlapcami. Koľko chlapcov bolo na večierku?

 

Riešenie:

Na prvý pohľad sa zdá, že zadanie úlohy je akési zmätočné. Nevieme mená všetkých dievčat ani ich počet. Označme si počet dievčat  x.

Poznáme iba počet  tanečníkov s jednotlivými svedomitými dievčatami:

 


                           M .......   7  ch

     O ....... 8  ch

     V ....... 9  ch

 

 

   x
 
      .        .

      .        .

      .        .

      .        .

     H .......  y  ch   ( y  je počet všetkých chlapcov)

 

Teda   x      - té  dievča tancovalo s  y  chlapcami,

           x - 1    .......                            y – 1   ...

           x - 2    .......                            y - 2    ...         

   .

   .

prvé dievča          tancovalo s         y - (x - 1)  chlapcami.

 

Svedomitým úsudkom vidíme, že   y - (x - 1) = y - x + 1 = 7.

Vyriešime sústavu rovníc  y - x  = 6     x + y  = 20 .

Dostaneme  y = 13  a  x = 7.

Na večierku bolo 7 dievčat a  13 chlapcov.

Svedomitý postup pri zoznámení sa so zadaním úlohy nám priniesol požadovaný výsledok.

 

 

Stručné spomienky na matematikov 

     Obdivoval usporiadanie čísel do magic­kých štvorcov. V geometrii vytušil nové možnosti využívaním súradníc. Vybadal spojenie medzi úlohami na určovanie do­tyčníc. Bol právnikom, matematiku sledo­val ako záľubu. Pierre Fermat (20.8.1601 - 12. 1. 1665), francúzsky sudca, do de­jín matematiky sa zapísal svojou domnien­kou, ktorá prežila bez dôkazu celé storočia (Fermatovu vetu dokázal A. Wiles, 1993 - 94). Napĺňa sa jeho predpoveď: "Mnohí budú prichádzať a odchádzať, ale veda sa bude stále obohacovať."  Jeho korešpon­dencia s B. Pasca1om sa zapísala do zá­kladov teórie pravdepodobnosti.

 

 

 

     Prvá profesorka matematiky v Európe prednášala na univerzite v Štokholme (od 1884). "Medzi všetkými vedami, ktoré od­krývajú ľudstvu cestu k poznaniu zákonov prírody, najmohutnejšia a najvznešenejšia je matematika.“ Sofia Vasiljevna Kovalev­ská (15. 1. 1850 - 10. 2. 1891), ruská ma­tematička, vytvorila znamenité štúdie v teórii diferenciálnych rovníc a analytic­kej mechanike. Získala Bordinovu cenu, ocenenia parížskej Akadémie vied, Švéd­skej akadémie i členstvo v Akadémii vied v Petrohrade. Vynikala matematickou erudíciou, literárnym talentom a ľudskou odvahou. Zvýraznila právo seba uplatnenia žien v oblastiach dovtedy pre nich ne­dostupných.

 

 

 

 

     Prispel  k aritmetizácii matematiky, podal aritmetickú definíciu iracionálnych čí­sel. Karl Weierstrass (31. 10. 1815 - 19. 2. 1897), nemecký matematik, dobudoval zá­klady matematickej analýzy, vytvoril presne zdôvodnenú teóriu eliptických funkcií, ovplyvnil teóriu analytických funkcií i variačný počet. Vedel, že mate­matika nesmie strácať kontakt s ďalšími vedami. "Nemožno byť skutočným mate­matikom a nebyť trochu aj básnikom."

 

 

 

 

Popularizujúca grafika - skutočné i abstraktné podobenky 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Metódy rozvíjania študijnej motivácie  

 

1.      Vyučovanie hrou a dramatizácia aj matematickej činnosti, živé a názorné vyučovanie, rozmanitosť a zmena rytmu.

2.      Uplatňovanie princípu seba vyjadrovania žiaka a jeho zodpovednosti za výsledky matematickej práce, zvýraznenie jeho individuality.

3.      Zaujímavosť ponúkaných matematických úloh, možnosť primeraného súťaženia a uplatnenia skúseností, vhodné ocenenie úspechu, vytváranie prostredia medziľudskej spolupráce.

4.      Problémové alebo programované učenie (tvorba hypotéz, aktivita, spätná väzba, vlastné tempo).

5.      Tvorivosť, autentický pocit sebarealizácie, oddelenie produkcie od hodnotenia, cielený rozvoj predstavivosti a zmysluplných asociácií, sústredenosť na prácu a zapojenie celej osobnosti.

6.      Individuálny prístup k žiakom, skupinové vyučovanie, rozvíjanie citového vzťahu aj k problémom, rozvoj hodnotiaceho myslenia, hierarchia cieľov, aktuálnosť a užitočnosť získaných poznatkov.

7.      Samostatné aktívne individuálne využívanie informačných zdrojov a fondov, uplatňovanie zmysluplnosti a širšieho významu vzdelanosti i matematickej kultúry.   

 

    Štúdium školskej matematiky má vzbudiť, usmerniť a udržať záujem a schopnosť používať matematický spôsob myslenia a argumentácie v rôznych životných situáciách každodenného ľudského života. Matematické myslenie je pre nás impulzom aj pre cestu k nekonečnu .